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无向图匹配的带花树算法  

2012-01-30 18:06:16|  分类: 程序 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在北京冬令营的时候,yby提到了“带花树开花”算法来解非二分图的最大匹配。
于是,我打算看看这是个什么玩意。其实之前,我已经对这个算法了解了个大概,但是。。。真的不敢去写。
有一个叫Galil Zvi的人(应该叫计算机科学家),写了篇论文:
Efficient Algorithms for Finding Maximal Matching in Graphs
(如果你在网上搜不到,可以:http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/Galil%20Zvi.pdf
这篇论文真神啊,它解决了4个问题:
(一般图+二分图)的(最大匹配+最大权匹配)问题。
算法的思想、故事,请自己看论文吧。
这个论文告诉了我们很多有趣的东西,例如:
 用Dinic实现的二分图匹配的时间复杂度其实是O(M*N^0.5),这也许能够解释为什么一般网络流算法比Hungry要快了。
另外,带花树算法的正确性的证明比较困难;而其时间复杂度是可以做到O(M*N^0.5)的,不过要详细实现,那么就快能到“ACM最长论文奖”了。

我写了一个实例代码:

http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/ural1099.cpp

没错,这是用来解决URAL 1099 Work Schedule那题的。时间复杂度是O(N^3)

简述一下“带花树”算法吧:
它的核心思想还是找增广路。假设已经匹配好了一堆点,我们从一个没有匹配的节点s开始,使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u,如果u还没有被匹配,那么就可以进行一次成功的增广;否则,我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上,之后把v丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型:S或者T。当u把它的配偶v扔进队列的时候,我们把u标记为T型,v标记为S型。于是,搜索树的样子是这样的:
       s
      /  
         
     |    |
     c    d
        
       u j
    | |  | |
    i j  v k
其中,黑色竖线相连的两个点是已经匹配好的,蓝色斜线表示两个点之间有边,但是没有配对。T型的用红色,S型的用黑色。

这里有个小问题:一个S型点d在某一步扩展的时候发现了点u,如果u已经在搜索树上了(即,出现了环),怎么办?
我们规定,如果u的类型是T型,就无视这次发现;(这意味着我们找到了一个长度为偶数的环,直接无视)
       s
      /  
         
     |    |
     c    d   如果连出来的边是指向T型点的,就无视这个边。
        
       
    | |    |
    i j    k
否则,我们找到了一个长度为奇数的环,就要进行一次“缩花”的操作!所谓缩花操作,就是把这个环缩成一个点。
       s
      /  
         
     |    |
     c    d
        
        
    | |   |
    i u<-+ k
这个图缩花之后变成了5个点(一个大点,或者叫一朵花,加原来的4个点):
缩点完成之后,还要把原来环里面的T型点统统变成S型点,之后扔到队列里去。
  +-------------+
  |             |
  |     s       |
  |    /  \     
  |           
  |   |    |    |   现在是一个点了!还是一个S点。
  |   c    d    |
  |     / \   
--    ------
 |             |   
 |             |   
 |             |   
 +-------------+   
|                   
e                   
|                   |
i                   k
为什么能缩成一个点呢?我们看一个长度为奇数的环(例如上图中的s-b-d--f-c-a-),如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度(配偶),那么环中的其他点正好可以配成对,这说明,每个点的出度都是等效的。例如,假设我们能够图中的点d另找一个配偶(例如d'好了),那么,环中的剩下6个点正好能配成3对,一个不多,一个不少(算上d和d'一共4对刚刚好)。
b-dd'         a s-b d-d'
 \           =>    \     
  cf-u              c f-u
这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了:缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。
缩起来的点又叫一朵花(blossom).
注意到,组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。

当我们最终找到一条增广路的时候,要把嵌套着的花层层展开,还原出原图上的增广路出来。

嗯,现在你对实现这个算法有任何想法吗?
天啊,还要缩点……写死谁。。。。。。
我一开始也是这么想的。
我看了一眼网上某个大牛的程序,之后结合自己的想法,很努力地写出了一个能AC的版本。
实现的要点有什么呢?
首先,我们不“显式”地表示花。我们记录一个Next数组,表示最终增广的时候的路径上的后继。同时,我们维护一个并查集,表示每个点现在在以哪个点为根的花里(一个花被缩进另一朵花之后就不算花了)。还要记录每个点的标记。
主程序是一段BFS。对于每个由x发展出来的点y,分4种情况讨论:
1。xy是配偶(不说夫妻,这是非二分图。。。)或者xy现在是一个点(在一朵花里):直接无视
2。y是T型点:直接无视
3。y目前单身:太好了,进行增广!
4。y是一个S型点:缩点!缩点!
缩点的时候要进行的工作:
1。找x和y的LCA(的根)p。找LCA可以用各种方法。。。直接朴素也行。
2。在Next数组中把x和y接起来(表示它们形成环了!)
3。从x、y分别走到p,修改并查集使得它们都变成一家人,同时沿路把Next数组接起来。

Next数组很奇妙。每时每刻,它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。
     ----
    /    \--+
    |    |   |
    |    |--+
        
   ----------
  /          \
+-            --+
|               |
|               |
+----s  ------+     



有权图的最大匹配怎么做?
看论文吧。。。用类似KM的方法,不过,是给每个花再来一个权值。真的很复杂。。。
有一个人写了代码,好像是GPL许可证。。。你最好想办法搜到它的网站来看看版权的问题;总之,我先贴出来:
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